Asal Sayılar 2

Teorem 3. Her n > 1 için, n < p ≤ n! + 1 eşitsizliklerini sağlayan bir asal vardır. ?


Hangi n asal bir sayıları için n! + 1 asaldır? Bence bu pek ilginç bir soru değil ama, meraklılar böyle sorular soruyorlar. Yanıt bilinmiyor. 1987’de H. Dubner, n = 13649 için, ki bu asal bir sayıdır, 5862 basamaklı n! + 1 sayısının asal olduğunu gösterdi.

Yukardaki teoeremde, n! + 1 sayısını biraz daha küçültebiliriz. Teorem 2’nin kanıtının hemen hemen aynısı, n! yerine, n’den küçük ya da eşit asalların çarpımını alabileceğimizi gösteriyor. Örneğin, n = 29 ise,

29 < p ≤ 2×3×5×7×11×13×17×19×23×29 + 1

eşitsizliğini sağlayan bir asal vardır.

Bütün bunlar akla bir başka soru getiriyor. Ardarda gelen, örneğin, her bin sayıdan en az biri asal mıdır? Başka bir deyişle, n herhangi bir sayıysa,

n + 1, n + 2, n + 3, ..., n + 1000

sayılarından biri asal mıdır?

Bu soruyu yanıtlamak için yeterli bilgiye sahibiz. Yanıt olumsuzdur. Yanıtın olumsuz olduğunu kanıtlayalım.

Bir örnekle başlayalım. 7! = 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7, yani 5040, 2’ye, 3’e, 4’e, 5’e, 6’ya ve 7’ye bölünür. Dolayısıyla

5042, 2’ye

5043, 3’e

5044, 4’e

5045, 5’e

5046, 6’ya

5047, 7’ye

bölünür ve bu sayılardan hiçbiri asal olamaz. Bunun gibi, aşağıdaki bin sayı,

1001! + 2, 1001! + 3, ... , 1001! + 1001

sırasıyla 2’ye, 3’e, ..., 1001’e bölünürler ve hiçbiri asal olamaz. Bu yaptığımızı genelleştirmek işten bile değildir:


Teorem 4. Ardarda gelen her n sayıdan birinin mutlaka asal olduğu bir n yoktur.


Asallarla ilgili bir başka soruya geçelim. Sayıları üç kümeye ayırabiliriz:

A kümesi = {3’e bölünen sayılar }

B kümesi = {3’e bölündüğünde kalanın 1 olduğu sayılar}

C kümesi = {3’e bölündüğünde kalanın 2 olduğu sayılar}

Yani,

A = {3,6,9,12,15,18,...}

B = {4,7,10,13,16,19,...}

C = {5,8,11,14,17,20,...}

B kümesinden herhangi iki sayı alalım: n1 ve n2. Bu sayılar 3’e bölündüğünde 1 kalıyor. Dolayısıyla n1 = 3q1 + 1 ve n2 = 3q2 + 1 olarak yazabiliriz. Şimdi n1 ve n2’yi birbiriyle çarpalım:

n1n2 = (3q1+1)(3q2+1) = 9q1q2 + 3q1+3q2 +1 = 3(3q1q2+q1+q2)+1

Dolayısıyla n1n2 sayısı 3’e bölündüğünde 1 kalır. Ne kanıtladık? B kümesindeki sayıların çarpımlarının gene B kümesinde olduğunu kanıtladık. Bunu kullanarak aşağıdaki teoremi kanıtlayacağız:


Teorem 5. C kümesinde sonsuz tane asal vardır.


Kanıt: C kümesindeki bir sayı, A kümesindeki bir sayıya bölünemez, çünkü A kümesindeki sayılar 3’e bölünüyor, oysa C kümesindekiler 3’e bölünmüyorlar. Demek ki C kümesindeki bir sayıyı bölen sayılar B ve C kümesinde olmalıdır. Ama hepsi birden B’de olamaz, çünkü B’nin öğeleri kendileriyle çarpıldığında gene B’den bir sayı verir. Demek ki C kümesinin her sayısı, gene C kümesinden bir asala bölünür.

Şimdi n ≥ 3 herhangi bir sayı olsun. n! – 1 sayısını ele alalım. Bu sayıya x diyelim. x, C’dedir, çünkü, x = (n! – 3) + 2 olarak yazılabilir ve n! – 3 üçe bölünür. Demek ki C kümesinde x’i bölen bir asal vardır. Öte yandan x’i bölen sayılar n’den büyüktür elbet. Ne kanıtladık? n kaç olursa olsun, C kümesinde n’den büyük bir asal vardır. Yani C’de sonsuz tane asal vardır. ?


Okur buna benzer bir kanıtla aşağıdaki teoremi kanıtlayabilir:


Teorem 6. 4’e bölündüğünde kalanı 3 olan sonsuz tane asal vardır.


18. yüzyılın sonlarına doğru, Fransız matematikçisi Legendre (1752-1833) son iki teoremi genelleştirmek istedi. Şu soruyu sordu:


Soru. a ve b, 1’den başka ortak böleni olmayan iki sayı olsun. ax+b biçiminde yazılan sonsuz tane asal var mıdır?


Teorem 5’ten a = 3, b = 2 için, Teorem 6’dan da a = 4, b = 3 için yanıtın olumlu olduğu anlaşılıyor. Legendre bu soruyu genel olarak yanıtlamak istedi. Örneğin 25x + 6 biçiminde yazılan sonsuz tane asal var mıdır? Eğer x = 1 ise 31 buluruz ki, 31 asaldır. Eğer x = 2, 3, 4 ise, sırasıyla 56, 81, 106 buluruz ve bunlardan hiçbiri asal değildir. x = 5 olduğunda 131 çıkar ve 131 asaldır.

Legendre sorunun yanıtının olumlu olduğundan hiç kuşku duymadı, ancak kanıtlamakta güçlük çekti. 1785’te defterine “bunu bilimsel olarak kanıtlamalı” diye not düşmüş. On dört yıl sonra, 1798’de, “doğruluğundan kuşku duymamalıyız” diye yazmış. Sonra da kanıtlamaya çalışmış. Başaramadan... İkinci denemesini Sayılar Kuramı adlı kitabına aldığını biliyoruz [26]. Ama bu denemesi de yanlış. Kanıtın yanlışlığının ne zaman anlaşıldığını bilmiyorum. 1837’de, meslektaşı Legendre gibi Fransız olan G. L. Dirichlet (1805-1859) teoremi doğru olarak kanıtladı [8]:


Teorem 7. a ve b ortak böleni olmayan iki doğal sayıysa, ax+b biçiminde yazılan sonsuz tane asal sayı vardır.



Dirichlet’nin yönteminden bir başka teorem daha elde edilebilir:


Teorem 8. a, b ve c ortak böleni olmayan üç pozitif doğal sayı olsunlar. ax2 + bxy + cy2 biçiminde yazılan sonsuz tane asal vardır.



Sadece ve sadece asal sayıları ve her asal sayıyı veren bir formül var mıdır? Genel olarak sanılanın tersine böyle bir formül vardır. Öyle bir formül vardır ki, bu formülle yalnız ve yalnız asal sayılar elde edilir ve her asal sayı bu formülle elde edilir. Oldukça kolay bir formüldür bu. İşte formül:

n ve m herhangi iki doğal sayı olsun.

k = m(n + 1) - (n! + 1)

olarak tanımlansın. Şimdi,

p = -|-|-- + 2

her n ve m sayısı için asaldır! Ayrıca her asal sayı bu biçimde elde edilebilir.

Bu formülle sık sık 2 elde ederiz, ama 2 dışındaki her asal sayı bu formülle ancak bir kez, yani bir tek n ve m değerleri için elde edilebilir.

Eğer k2 - 1 ≥ 0 ise, yukardaki formül hep p = 2 verir. Ama k2 - 1 < 0 ise, yani k2 < 1 ise, yani k2 = 0 ise, yani k = 0 ise, yani m(n + 1) - (n! + 1) = 0 ise, yani,

m =

ise, yukardaki formül p = n + 1 verir. Bu sayı asaldır, çünkü Wilson’ın ünlü teoremine göre, m’nin tamsayı olabilmesi için, yani n + 1’in n! + 1’i bölebilmesi için, n + 1’in asal olması gerekmektedir.

Örneğin, n = 2 ve m = 1 ise, p = 3 bulunur. Eğer n = 4 ve m = 5 ise, p = 5 bulunur. Eğer, n = 6 ve m = 103 ise, p = 7 bulunur. Gelecek asalı, yani 11’i bulmak için, yani p = 11 çıkması için, n’nin 10 olması, m’nin de


yani 329.891 olması gerekmektedir. Hangi n ve m sayıları için p = 13 bulunacağını okur kolaylıkla bulabilir.

Hardy ve Wright, bir ω = 1,9287800… sayısı için,

f(n) =

sayısının (n tane 2 var) bir asal olduğunu gösterdiler [47]4. Örneğin f(1) = 3, f(2) = 13, f(3) = 16381. f(4)’ü hesaplamak zor, basamak sayısı 5000 civarında. Öte yandan, ω sayısını belirlemek için, asal sayıları bilmek gerektiğinden, bu formül pek işe yaramaz. Gene de öyle bir ω sayısının varlığı ilginç.

Her asalı veren bir formül var ama, her asalı veren bir polinomun5 olmadığı biliniyor. Eğer katsayıları tamsayı olan her polinomun sonsuz tane asal olmayan sayı verdiği bilinir.

1772’de Euler, n2 + n + 41 polinomunun n = 0,1,2,…,39 için asal sayılar verdiğini buldu. Ancak bu polinom n = 40 için 41’e bölünür ve asal değildir.


Fermat sayıları üzerine bir teorem kanıtlayacağımıza sözvermiştik. Sözümüzü tutuyoruz: