Asal sayılar 3

Teorem 9. Eğer a = 2n biçiminde yazılamazsa, 2a + 1 asal olamaz.


Kanıt: Önce şunu belleyelim: x herhangi bir sayı ve a > 1 bir tek sayıysa, xa + 1 sayısı asal olamaz, çünkü x + 1’e bölünür. Şöyle bölünür:

xa + 1 = (x+1)(xa–1 – xa–2 + xa–3 – xa–4 + ... – x + 1.)

Şimdi a’nın bir tek sayıya bölündüğünü varsayalım. 2a + 1’in asal olamayacağını kanıtlamak istiyoruz. a’yı bölen tek sayıya m diyelim. Demek ki a = nm ve m bir tek sayı. x = 2n olsun. Küçük bir hesap yapalım:

2a + 1 = 2nm + 1 = (2n)m + 1 = xm + 1.

m tek olduğundan, ilk paragrafta gördüğümüz gibi, x + 1, xm + 1’i böler. Yani x + 1, 2a + 1’i böler.

Demek ki a bir tek sayıya bölünüyorsa, 2a + 1 asal olamaz. Dolayısıyla a, 2’nin bir katı olmalı. ?


Asallar üzerine bildiklerimiz bilmediklerimizin yanında hiç kalır. Bildiklerimiz arasından en önemlilerinden biri Fermat’nın Küçük Teoremi adıyla anılan şu teoremdir:


Teorem 10. (Fermat’nın Küçük Teoremi.) n bir sayıysa ve p asalsa, p, n p – n sayısını böler. Dolayısıyla eğer p, n’yi bölmüyorsa, n p–1–1’i böler.



Bu teorem, n üzerine tümevarımla kolaylıkla kanıtlanabilir. Örneğin 23, 223–2 sayısını böler, çünkü 23 asaldır. 23, 2’yi bölmediğinden, 23, 222–1 sayısını da böler. Bunun tersi doğru mudur? Yani p > 1 bir sayıysa ve p, 2p–1 – 1’i bölüyorsa, p asal mıdır? Eski Çinliler de bu soruyu sormuşlar ve yaptıkları hesaplarda p hep asal çıkmıştır. Gerçekten de 1 < p < 300 için bu doğrudur. Öte yandan p = 341 = 11 × 31 için doğru değildir: 341 asal olmamasına karşın 2340 – 1’i böler. Demek ki Çinliler yanılmışlar. Bir iki deney yaparak matematiksel bir gerçek bulunmaz. Kanıt gerekir. [11]

Eğer p, 2p – 2’yi bölüyorsa ve asal değilse, p’ye yalancı asal adı verilir. Örneğin 341 bir yalancı asaldır6. 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905 de yalancı asallardır. Kaç tane yalancı asal vardır? Sonsuz tane vardır, çünkü eğer p bir yalancı asalsa, 2p–1 de bir yalancı asaldır. Okur bunu alıştırma olarak kanıtlayabilir. Demek ki 2341 – 1 bir yalancı asaldır.

Her p için, 2p – 1 tek bir sayıdır. Dolayısıyla yukardaki yöntemle bulunan yalancı asallar hep tektirler. Bundan da şu “doğal” soru çıkar: çift yalancı asal var mıdır? Evet! 1950’de D.H. Lehmer 161.038’in bir yalancı asal olduğunu kanıtladı. 161.038 sayısını bulmak kolay değil ama, bu sayının yalancı asallığını kanıtlamak oldukça kolay. Kanıtlayalım. 161.038’in 2161.038 – 2’yi böldüğünü kanıtlamak istiyoruz. Önce 161.038’i asallarına ayıralım: 161.038 = 2 × 73 × 1103. Demek ki 73 ve 1103’ün a : = 2161.037–1’i böldüğünü kanıtlamalıyız. 161.037’yi asallarına ayıralım: 161.037 = 32 × 29 × 617 = 9 × b. Burda b = 29 × 617 olarak aldık elbet. Eğer c = 29 ise, bundan da şu çıkar: a = 2161.037 – 1 = (29)b – 1 = cb – 1. Demek ki c – 1, yani 29 – 1, yani 511, yani 7 × 73, a’yı bölüyormuş. Dolayısıyla 73 de a’yı bölüyordur. Şimdi sıra 1103’ün a’yı böldüğünü kanıtlamakta. Aynı akıl yürütmeyi yapacağız. d : = 32 × 617 ve e = 229 olsun. Hesaplayalım: a = 2161.037 – 1 = (229)d – 1 = ed – 1. Demek ki

e – 1 = 1103 × 486.737,

a’yı bölüyormuş. Kanıtımız bitmiştir.

1951’de N.W.H. Beeger sonsuz tane çift yalancı asal olduğunu kanıtladı.

Eğer p > 1, her n için n p – n’yi bölüyorsa ve asal değilse, p’ye çok yalancı asal adı verilir. Çok yalancı asal sayı var mıdır? Evet. En küçük çok yalancı asal sayı 561’dir. 561 = 3 × 11 × 17 olduğundan 561 asal değildir. Öte yandan, 561, her n için a561–561’i böler. Bunu da kanıtlamak oldukça kolaydır. Kanıt için okur [23]’e bakabilir.

Fermat’nın Küçük Teoremi’ne göre, eğer p asalsa,

1p–1, 2p–1,..., (p–1)p–1

sayıları p’ye bölündüğünde 1 kalır. Dolayısıyla bu p–1 sayının toplamı olan

1p–1 + 2p–1+ ... + (p–1) p–1

sayısı p’ye bölündüğünde kalan p – 1’dir. Bunun tersi de doğru mudur? Yani n herhangi bir sayıysa ve

1n–1 + 2n–1 + ...+ (n–1)n–1

sayısı n’ye bölündüğünde kalan n – 1 ise, n asal mıdır? 1950’de Bedocchi adında bir matematikçi 1985’de yanıtın n < 101700 için “evet” olduğunu gösterdi. Genel sorunun yanıtı bugün de bilinmiyor:


Soru: n herhangi bir sayıysa ve 1n–1+2n–1+ ...+(n–1)n–1 sayısı n’ye bölündüğünde kalan n – 1 ise, n asal mıdır?


Gerçek asallara geri dönelim. Wilson Teoremi, hemen hemen Fermat’nın Küçük Teoremi kadar önemlidir:


Teorem 11. Eğer p asalsa, p, (p – 1)! + 1’i böler.


Asallar üzerine yanıtı bilinmeyen bir başka soru geçeyim. Goldbach, bir mektubunda aşağıdaki soruyu Euler’e sordu (1972):


Goldbach Sanısı (1): 5’ten büyük her sayı üç asalın toplamına eşittir.


Euler, Goldbach’a sorunun yanıtını bilmediğini, ama sorunun aşağıdaki soruyla eşdeğer olduğunu yazdı:


Goldbach Sanısı (2): 4’ten büyük her çift sayı iki asalın toplamıdır.


Örneğin,

4 = 2+2

6 = 3+3

8 = 3+5

10 = 3+7 = 5+5

12 = 5+7

14 = 3+11 = 7+7

16 = 3+13 = 5+11

18 = 5+13 = 7+11

20 = 3+17 = 7+13

22 = 3+19 = 5+17 = 11+11

24 = 5+19 = 7+17 = 11+13

26 = 3+23 = 7+19 = 13+13

Yüz milyondan küçük sayılar için Goldbach sanısının doğru olduğu biliniyor. Önermenin her sayı için doğru olduğu bilinmiyor, ancak doğru olduğu sanılıyor. Bu sanıyı kanıtlayabilirseniz ölümsüzler arasında yerinizi alırsınız.

Asal sayılar üzerine dahaca çözülememiş bir başka ünlü sanı vardır:


İkiz Asallar Sanısı: Sonsuz tane ikiz asal sayı vardır.


Eğer iki asal sayının arasındaki fark 2 ise, bu iki asal sayıya ikiz denir. Örneğin, (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43) ikiz asal sayılardır. Sonsuz tane ikiz asalın olup olmadığı bilinmiyor. “Bilinse ne olur, bilinmese ne olur?” demeyin. Yanıtı bilinmeyen her soru ilginçtir, üzerinde düşünmeye değer. İnsan yalnızca “düşünen hayvan” değildir, nedenli nedensiz düşünen hayvandır.

1966’da, sonsuz tane asal p sayısı için, p + 2 sayısının ya asal ya da iki asalın çarpımı olduğu kanıtlandı.

Bilinen en büyük ikiz asallar 1.706.595 × 211235 ± 1 asallarıdır, 1990’da Parady, Smith ve Zarantonello bulmuştur.

Üçüz asal var mıdır? (3,5,7)’den başka yoktur. Okur bunu kolaylıkla kanıtlayabilir. Bir ipucu verelim: eğer n bir tamsayıysa, n, n+2, n+4 sayılarından biri 3’e bölünür.

Yukarda sonsuz tane asal sayının olduğunu gördük. Gene de o kadar fazla asal sayı yoktur. Örneğin, çift sayılar (2 dışında) asal olamayacaklarından, sayıların “yarısından fazlası” asal değildir. 1’le n arasından rastgele bir sayı seçsek, bu sayının asal olma olasılığı kaçtır? Bu olasılık n’ye göre değişir elbet. Eğer n = 100 ise, bu olasılığın 1/4 olduğunu yazının en başında görmüştük.

Eğer n bir tamsayıysa, π(n), n’den küçük asalların sayısı olsun. π(n)/n, n’den küçük rastgele seçilmiş bir sayının asal olma olasılığıdır. n sonsuza gittiğinde, bu olasılığın değeri kaçtır? Okur, n büyüdükçe, asal seçme olasılığının da küçüleceğini ve n sonsuza gittiğinde bu olasılığın 0’a yakınsayacağını tahmin edebilir. Bu tahmin doğrudur7:

limn→∞ π(n)/n = 0.

Bundan çok daha iyi bir sonuç bilinmektedir. π(n)/n ve 1/log(n), n büyüdükçe birbirlerine çok yakınsamaktadırlar8. Başka bir deyişle, eğer n büyükse, π(n) aşağı yukarı n/log(n) dur, yani π(n) ≈ n/log(n). Bu sonuca Asal Sayılar Teoremi adı verilir.

Asal sayılar son derece ilginç bir konudur. Asal sayılar konusunda bilgilenmek isteyen okur [33] ve [40]’a bakabilir. Hele Euler’in sonsuz tane asal sayının olduğunu (bir kez daha) kanıtlayan bir kanıtı vardır ki...