Uzunlukları mukayese ederken ve onları kaydederken sayılarla ilgili insanoğlunun ilk kullandığı kavramlardan biri sıralamadır. Buna göre büyük sayılar büyük uzunluklara karşılık getirilir. Şüphesiz sayılara bir kümenin elemanları karşılık getirilerek işe başlanabilirdi. Fakat bu sadece tam sayıları verirdi. Diğr taraftan uzun fikri sadece rasyonel sayıları değil ,, e sayısı, gibi irrasyonel sayılarıda verir. Bu gibi geometrik fikirler asırla boyunca geliştirilirken matematiçiler gerçel sayıları, gerçel sayılar doğrusu ile bağdaştırmışlardır.
-3 -2 -1 0 1 2 3
Şekil: Gerçel Sayı Doğrusu
Şeklin temel bir özelliği verilen a ve b gerçel sayı çiftinden birisinin diğerinin solunda bulunmasıdır.Buna göre “solunda bulunma” deyimi bir bağıntı olarak düşünülebilir.
BAĞINTI
A ve B kümeleri verilmiş olsun. A’nın bazı ögelerini , B’nin bazı ögelerine bağlayan bir kurala A’dan B’ye (A B) bir bağıntıdır denir.
Örnek:
E ve K kümelerinin ögeleri arasında bir bağıntı “evlilik ilişkisi” olsun.
R= { (x,y) I xЄ E, yЄK ve x ile y evlidir}
Bu örnekte olduğu gibi R kümesi bir bağıntı örneğidir.
SIRALAMA BAĞINTISI
Bir cümlede tanımlanan bir bağıntının yansıma, ters simetri ve geçişme özellikleri varsa bu bağıntıya “sıralama bağıntısı” denir.
Yansıma özelliği: Herhangi bir A cümlesinde tanımlanan bir β bağıntısı
β: x~y x, y’nin solunda yada
x=y olmalıdır
x (xЄA için (x,x) Є β ise β yansıyandır.
Ters simetri: Herhangi bir A cümlesinde tanımlanan bir β bağıntısı
β: x~y x, y’nin solunda ya da
x=y olmalıdır
(x,y) ([xy (x,y) Є β] (y,x)β) ise β bağıntısı ters simetriktir
Geçişme özelliği: Herhangi bir A cümlesinde tanımlanan bir β bağıntısı
β : x~y x, y’nin solunda yada
x=y olmalıdır
[((x,y) Є β (y,z) Є β) (x,z) Є β )] ise β bağıntısı geçişlidir.
Bir A cümlesinde bir sıralama bağıntısı varsa bu cümleye “sıralı cümle” denir.
Bir cümlede tanımlı sıralama bağıntısı simgesiyle gösterilir.
(x,y) Є x y
x y ifadesi sıralamasına göre x y’den önce gelir veya x,y’ye eşittir diye okunur. xy ifadesi y x biçiminde de gösterilir. Özel olarak x
KISMİ SIRALAMA
Herhangi bir A kümesi ile bunun üzerinde tanımlı olan ve “” simgesi ile gösterdiğimiz “küçük yada eşit olma” adı verilen ikili bir bağıntı verilmiş olsun. Eğer bu bağıntı yansıma özelliği, ters simetri özelliği ve geçişme özelliğini sağlıyorsa:
1- a ЄA a a
2- a,b ЄA için (ab ba) a=b
3- a,b,c Є A için (ab bc) a c ise bağıntısına A kümesi üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı ve (A,) çiftine de “kısmen sıralanmış küme” denir.
Örnek:
R gerçel sayılar kümesi üzerinde bildiğimiz “” bağıntısı bir kısmi sıralama bağıntısıdır.
Örnek:
Kümelerde oluşan bir A kümesi üzerinde” ” kapsama bağıntısı bir kısmi sıralama bağıntısıdır.
Örnek:
a A={a,b,c,d,e} kümesinin öğeleri arasında bir bağıntı yukarıdaki
şekil yardımıyla verilmiş olsun. Burada “x y”nin anlamı x=y dir.
b d Yada x noktasından y’ye ok yönünde gidilebilir demek olsun.
e Bu çizelgeden görüldüğü gibi;
c cb, ba, cd, ed, ca, ea, da’dır. Ve ayrıca aa, bb,
cc, dd, ee olduğu da görülür.
Tanım: (A, ) kısmi sıralı bir küme olsun. A kümesine ait a ve b gibi herhangi iki öğe verilsin. Eğer ab yada ba oluyorsa a ile b ögelerine “” bağıntısına göre KARŞILAŞTIRILABİLİR (mukayese edilebilir) iki ögedir denir.
Kısmi sıralı bir kümenin herhangi iki ögesi daima karşılaştırılamayabilir. Sözkonusu küme içinde geçen “kısmen” sözcüğü buradan gelmektedir.
Örnek:
d e f g Olasılıkta kullandığımız ağaç diyagramı üzerinde
tanımlayacağımız bir bağıntısı kısmi sıralama bağıntısıdır.
b c
a
TAM SIRALAMA
(A, ) kısmi sıralı bir sistem olsun ve bir BA alt kümesi verilsin. Eğer B’ ye ait herhangi iki öğe birbiriyle karşılaştırılabiliyorsa, B kümesi bağıntısına göre “tam sıralıdır” denir.
Başka bir deyişle B kümesi üzerindeki bağıntısı yansıyan, ters simetrik ve geçişli ise yani her x,yA için xy, x=y ya da yx özelliklerinden biri varsa, bu kısmi sıralama bağıntısına “tam sıralama bağıntısı” denir. Tam sıralama bağıntısına bazen doğrusal sıralama bağıntısı da denir.
bağıntısı A kümesi üzerinde bir tam sıralama bağıntısıysa (A, ) sıralı ikilisine tam sıralı küme adı verilir.
Örneğin R gerçel sayılar kümesi üzerinde bildiğimiz bağıntısı bir tam sıralama bağıntısıdır.
İYİ SIRALAMA
A kümesi üzerinde bir bağıntısı verilsin. Eğer aşağıdaki iki koşul sağlanıyorsa verilen bağıntıya A üzerinde bir “iyi sıralama” bağıntısı denir:
(A, ) kısmen sıralanmış bir sistemdir,
A’nın boş olmayan her alt kümesinin bir en küçük öğesi vardır.
Bu durumda (A,) ikili sistemi iyi sıralanmış bir sistem olur.
A bir kısmi sıralı küme olsun. A’nın boş olmayan her alt kümesinin bir en küçük öğesi varsa A’ya iyi sıralı küme denir. Buradaki sıralama bağıntısına iyi sıralama bağıntısı denir.
İyi sıralı bir A kümesinin tam sıralı olduğunu da söyleyebiliriz.
x,y A ise {x,y} kümesinin en küçük öğesi vardır ve bu öğe x’dir ya da y’dir. Böylece xy ya da yx elde edilir.
Örnek:
A={-1,0,1,2,3,4} kümesi üzerinde bilinen sıralamaya göre iyi sıralı bir kümedir. Aynı zamanda tam sıralı bir kümedir.
-1 0 1 2 3 4
Örnek;
(-,0) kümesi tam sıralı bir kümedir, fakat iyi sıralı bir küme değildir. Çünkü bu kümede her x elemanı için xy olacak şekilde bir y bulunabilir. Ancak bu kümenin en küçük elemanı bulunamaz.
Önerme Kavramı ve Öğretimi
Hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler, sözel olabildiği gibi matematiksel de olabilir.
Önermede bildirilen hüküm doğru veya yanlış olabilir. Önermenin bildirdiği hüküm doğru ise bu önermeye doğru önerme; önermenin bildirdiği hüküm yanlış ise bu önermeye de yanlış önerme denir. Bazı önermelerde bilinmeyen bulunur. Böyle önermeler açık önerme denir. Bilinmeyenin terine konan ve önermeyi doğru yapan ifade veya değere önermenin doğruluk değeri adı verilir.
Öğretim sırasında bu kavramlar bol örnekler verilerek durulmalıdır. Örnekler önce günlük hayattan sözel ifadelerle; daha sonra sayısal ifadelerle verilmelidir.
Bazı örneklerle konuyu genişletelim.
Örnek 1: Yaşasın Cumhuriyet!
1. Önerme olma koşullarından en önemlisi bir hüküm belirtmesiydi; ama yukarıdaki örnekte bir hüküm bildirilmemiştir.
Not1: Hüküm bildiren ifadeler önerme olarak adlandırılmıştır.
Not2: Bir önermenin belirttiği hükmün doğru veya yanlış olabileceği, hükmün yanlış veya doğru olmasının o ifadenin önerme olup olmama özelliğini değiştirmeyeceğidir.
Örnek 2: Bugün hava ........’dır.
Bu ifadenin bir önerme olması için, boşluk doldurulmalı; ama doldurulan kelime bir hüküm bildirmelidir. Bugün hava 3’tür. Bir önerme değildir. Çünkü bir hüküm bildirmiyor.
Bugün hava yağışlıdır. Bir hüküm bildirdiğinden önermedir. Ama doğru ya da yanlış olması önerme olmasını engellemez.
Dışarı bakıldığında hava güneşli ise;
Bugün hava güneşlidir Doğru Önerme
Bugün hava yağışlıdır Yanlış Önerme
Bazı önermelerde bilinmeyen bulunur. Böyle önermelere açık önerme denir.
a+12= 15’de a yerine her şey yazarsak bu bir önerme olmayabilir.
Elif+12=15 bir önerme değildir. Ama a Є N yazılırsa
4+12= 15 bir önermedir; ama yazılı bir önermedir. a yerine bütün doğal sayılar gelebilir. a bilinmeyendir.
Açık Önerme
Eşitlik Eşitsizlik
─ Denklemler
─ Özdeşlikler
─ Harfli İfadeler
Denklemler:
İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin özel değerleri için sağlanan eşitsizliklere denklem denir.
Bir ifadenin denklem olması için ilk önce açık önerme olduğunu incelemek gerekir.
2x-1= 5 ifadesi bir denklem midir?
a) Denklem olması için ilk önce x’ in yerine seçilen değerler önemli. x Є N olursa bu bir önerme olur.
b) Önermenin eşitlik ya da eşitsizlik belirttiği de incelenmeli. Açık önerme eşitsizlik belirttiği takdirde denklem olma koşulunu sağlar.
c) Önerme olduğunu gösterdikten sonra da tanım gereği içinde bilinmeyen bulunduğu için denklem denir.
d) Özel değer olarak da x yerine 3 doğal sayısını yerleştirsek ifadenin denklem olduğu kesinleşir.
Eşitsizlikler
Aksiyom:a,b ∈ IR olsun.aa, a=b ifadelerinden biri ve yalnız biri doğrudur.
Buna trikotomi denir.
*a,b ∈ IR olmak üzere a>b ⇔ reel sayı ekseni üzerinde a, b nin sağındadır.
• x >0 ⇔ x, 0 ın sağındadır.
• a>b ⇔ a-b>0 dır.
• a>b ⇔ a=b+h olacak şekilde pozitif bir h sayısı vardır.
″ = ″ sembolü yerine ″<, > ,≤ ,≥ ″ sembollerinden birinin bulunduğu önermelere eşitsizlik denir.
< ,> sembollerinin kullanıldığı eşitsizliklere kuvvetli eşitsizlikler; ≤, ≥ sembollerinin kullanıldığı eşitsizliklere zayıf eşitsizlik denir.
3x+5>7 şeklinde içerisinde bilinmeyen bulunduran eşitsizlikler açık önermedir; 6<9 şeklindekiler ise sayısal eşitsizliktir.
Önemli Eşitsizlikler
1)Üçgen Eşitsizliği:Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları toplamı üçüncü kenarın uzunluğundan daha büyük veya ona eşittir.
A
AB+ BC ≥ AC
B C
2.)Aritmetik ve Geometrik Ortalama Eşitsizliği : a ve b gibi negatif olmayan iki sayı için
a +b ≥ √ab dir.
2
Eşitlik işareti sadece a=b için geçerlidir.Genelleştirirsek; n adet pozitif sayının geometrik ortalaması bunların aritmetik ortalamalarından küçük veya ona eşittir.Her iki ortalama da ancak ve ancak n sayı birbirine eşitseler eşittir.
2. DERECEDEN 3. DERECEDEN VE 4. DERECEDEN DENKLEMLER
Babillilerin (yaklaşık M.Ö. 400) 2. dereceden denklemleri ilk çözenler olduğu iddia edilir. Bu bir aşırı basitleştirmedir çünkü Babilliler 'denklem’in ne olduğu hakkında bir fikre sahip değillerdi. Geliştirdikleri şey, bizim deyimimizle 2. dereceden denklemlere artış veren problemlerin çözümüne doğru olan algoritmik bir yaklaşımdır. Genel cevap uzunluk için bütün Babillilerin problemleri pozitif denkleme olan cevaplarıdır.
M.Ö. 300 yıllarında Öklit bir geometrik yaklaşım geliştirdi. Daha sonra matematikçiler bu yaklaşımı 2. dereceden denklem çözmede kullanmalarına rağmen; Öklit, bizim işaretlerimizin 2. dereceden denklemlerin çatışı içinde olan bir uzaklığa ulaştı.
Hindu matematikçileri Babillilerin metotlarını aldılar ve o kadar ileriye götürdüler ki Brahmagupta (M.Ö. 598-665) negatif denklemleri de kabul eden modern bir metot verdi. Ayrıca bilinmeyenler için kısaltmalarda kullanmıştır. Genellikle bir rengin ilk harfi ve bazende birkaç farklı bilinmeyen tek bir problemde görülür.
Araplar Hinduların gelişmelerinden haberdar değillerdi. Bu yüzden onlar ne negatif denklemleri nede bilinmeyen için kullanılan kısaltmaları bilmiyorlardı. Bununla beraber Harezmi (800) 2. dereceden denklemlerin farklı çeşitlerine bir sınıflandırma yapmıştır. Sayıların 3 çeşitinden yapılmış denklemler, yani: kök, köklerin karesi ve (i. e.x sayıları) sayılar
kareler köklere eşittir
Kareler sayılara eşittir
Kökler sayılara eşittir
Kareler ve kökler sayılara eşittir
Ör: X2 +10= 39
Kareler ve sayılar köklere eşittir
Ör: X2 + 21= 10x
Kökler ve sayılar karelere eşittir
Ör: 3x +4 0= x2
İbrahim Nasi, Latin ismi savasorsa olarakta bilinen ve 1145 yılında basılan ‘Liber embadorum’ adlı kitabı ile ünlüdür. Bu kitap, 2. dereceden denklemlere kesin bir sonuç veren Avrupa’da basılan ilk kitaptır.
İtalya’da 1500 yılarında matematikte yeni bir dönem başladı. 1494 yılında ‘suma’ olarakta bilinen ‘summa de Arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita’ nın ilk baskısı görüldü. Yazarın isminin kitapta zor bulunmasına rağmen Luca Pacioli tarafından yazılmıştır. Fra Lura küçük harflerle yazılmıştır fakat kapakta değildir.
Pacioli 3. dereceden denklemleri tartışmaz ama 4. dereceden denklemleri tartışır. O derki; bizim sembollerimizde x4 = a+ bx2 2.dereceden denklem metotlarıyla çözülebilir fakat x4+ax2=b ve x4+a=bx2 bilimin şu anki durumunda imkansızdır.
Scipione dal Ferro (1465-1526) Bologna Üniversitesi’nde aritmetri ve geometri zincirini ele aldı. Büyük bir ihtimalle 1501-1502 yıllarında Bolgna’da ders veren Pacioli ile karşılştı.
Dal Ferro 3. dereceden denlemleri cebirsel olarak çözdüğüne inanılır. Problem; ekleyerek, çıkararak, çarparak, bölerek ve katsayılarını alarak kökü bulmaktır. İnanırız ki; dal Ferro sadece x3+mx=n şeklindeki 3. dereceden denklemleri çözebilir. Aslında bu, gerekli bir şeydir.
Bununla birlikte Hinduların negatif sayılarda bilgisi olmadan, dal Ferro, bütün 3. dereceden denklemleri çözmek için tek bir çözümü kullanması mümkün olmazdı. Dikkat çekecek şekilde, dal Ferro yaklaşık olarak 1515 yılında bu 3.dereceden denklemi çözdü fakat bu çalışma 1526 yılında öğrencisi Antonio Fior tarafından ölümünün az öncesine kadar gizli tutuldu.
Fior vasat bir matematikçiydi ve bu sırrı saklamada Ferro’dan daha az iyiydi. 3. dereceden denklemin çözüldüğüne dair söylentiler Bologna’da yayılmaya başladı. Anlamının kekeme olduğu Tartaglia x3+mx2=n formülünün denklemini çözmeyi başardığı için ve bunu gizli tuttuğu için ödüllendirildi.
Fior, halka açık bir yarışmada Tartaglia’ya meydan okudu. Bu yarışmanın kuralları şöyleydi. Her biri birbirine 40 yada 50 gün verip 30 soru soracaktı. Kazanan en çok soru çözen olacaktı fakat her soru için küçük bir ödül kondu. Tartaglia Fior’un tüm sorularını çözdü. Fior’un yaptığı bütün sorular x3+mx=n şeklindeydi ve o, Tartaglia’nın bu tür sorular çözemeyeceğini sanıyordu. Sadece 8 günde Tartaglia 3. dereceden denklemlerin her çeşidi için genel bir formül buldu.
Tartaglia’nın zaferi Milano’daki Girolama Cardan’a ulaştı. Cardan, Milano’daki (1539) Practica Arithmetica’nın basılmasını hazırlıyordu. Cardan, Tartaglia’yı onu ziyaret etmesi için çağırdı ve birçok ısrardan sonra onun 3. dereceden denklemin sonucunu ifşa etmesini sağladı. Tartaglia’nın bu yaptığını kendisi kitabında basana kadar gizli kalacağı üzerine Cardan’a söz verdirdi. Cardan sözünü tutmadı. 1545’de cebir alanında ilk Latin bilimsel eser olan ‘Ars Magna’ yı bastırdı.
Cardan bazı belli küplere uyguladığında garip şeylerin olduğunu fark etti. x3=15x+4’ü çözerken -121’i içeren bir ifade buldu. Cardan negatif bir sayının kare kökünün alınmayacağını biliyordu. Ayrıca biliyordu ki x=4 ün denleme bir sonuçtur. Bu zorluğu düzeltmek için 4 Ağustos 1539’da Tartaglia’ya yazdı. Tartaglia tam olarak anlamadı. ‘Ars Magna’ da Cardan, benzer bir soruyu çözmek için karmaşık sayılarla ilgili bir hesaplama verir. Fakat gereksiz olduğu kadar anlaşılmasıda zor olan kendi hesabını bile tam olarak anlamaz.
Tartaglia, Cardan’a 3. dereceden denklemleri nasıl çözeceğini gösterdikten sonra Cardan kendi öğrencisi olan Lodovico Ferrari’yi 4. dereceden denklemleri çözmesi için cesaretlendirdi.
Ferrari, bu tür soruları çözmede bulunan bütün metotların beklide en şık olanıyla 4. dereceden denklem çözmeyi başardı. Cardan ‘Ars Magna’ da 4. dereceden denklemlerin 20 türünü bastı.
Salı Haz. 30 2009, 12:06 tarafından yasakmc
Konu: Yanlış Önermeler 